線形代数例

$\frac{x + 7}{x} + \frac{6}{3 x + 21}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{x + 7}{x} + \frac{6}{3 x + 21}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x + 7$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [x + 7] - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

ステップ 2.4

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (1 + 0) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (1 + 0) - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

ステップ 2.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x \cdot 1 - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

ステップ 2.7

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

ステップ 2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$6$ と $3 x + 21$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 x + 21}]$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x) + 21}]$

ステップ 3.1.2.2

$3$ を $21$ で因数分解します。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x) + 3 (7)}]$

ステップ 3.1.2.3

$3$ を $3 (x) + 3 (7)$ で因数分解します。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x + 7)}]$

ステップ 3.1.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x + 7)}]$

ステップ 3.1.2.5

式を書き換えます。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x + 7}]$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x + 7}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 7}]$ です。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 7}]$

ステップ 3.3

$\frac{1}{x + 7}$ を ${(x + 7)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{- 1}]$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 7$ とします。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 7])$

ステップ 3.4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 7])$

ステップ 3.4.3

$u$ のすべての発生を $x + 7$ で置き換えます。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 7])$

ステップ 3.5

総和則では、 $x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]))$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [7]))$

ステップ 3.7

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (1 + 0))$

ステップ 3.8

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} \cdot 1)$

ステップ 3.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2})$

ステップ 3.10

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} - 2 {(x + 7)}^{- 2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x - x - 1 \cdot 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{x - x - 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 - 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.3.3

$0$ から $7$ を引きます。

$\frac{- 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.3.5

$- 2$ と $\frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{- 2}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{7}{x^{2}} - \frac{2}{{(x + 7)}^{2}}$

線形代数 例

線形代数例